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[Mariela Sued]

Durante el segundo cuatrimestre contaremos con la presencia de 
reconocidos probabilistas visitando el departamento.
Además, cada uno de ellos, dictará un curso. 
Se nos ocurrió proponer un horario que intentaremos
conservar para los diferentes cursos, de forma tal que los 
interesado en el area, puedan reservarse la franja horaria. 
Por lo que anduvimos conversando, nos parece convenientes los días martes y
viernes de 11 a 13 horas,  aproximadamente.

Empezamos con el curso a cargo del Doctor Enrique Andjel: Percolación.
Fecha de inicio: 23 de agosto 11 horas
Aula a confirmar







La percolación se convirtió en un tema sumamente atractivo,
entre otras cosas, porque  plantea preguntas de sencilla formulacion
pero que sin embargo ofrecen dificultades matemáticas considerables. 
Los resultados de esta teoría tienen implicancias muy importantes 
tanto en la teoría de las probabilidades como en 
el el campo de la física, biología y ecología, entre otras.

Para hacer una breve presentación del problema, consideremos, 
por ejemplo,  el grafo con vértices dados por
Z ^2,  el producto cartesiano de enteros, y aristas uniendo cada punto con sus
cuatro vecinos. Suponga que las aristas del grafo representa un
conjunto de caños, con codos en los vértices uniéndolos entre si.
 Además, imagine que cada caño  se encuentra abierto con probabilidad $p$,
independientemente de lo que ocurre con los demás, para p  en  [0,1].
Por último, dada una realización de caños abiertos y cerrados, 
definimos el conglomerado del origen como el conjunto formado por los
vértices que "se mojan" si se abre una canilla en el origen. Es
decir, consiste en  aquellos puntos alcanzables mediante un camino
de aristas abiertas partiendo del origen. Una de las primeras preguntas
relevantes concierne al tamaño del conglomerado del origen. 
Cuando p=0 no se moja nadie, mientras que a medida que la probabilidad  $p$
aumenta, el modelo puede ser construido (usando técnicas de acoplamiento) de
forma tal que el conglomerado del origen incrementa su tamaño. Cuando 
el conglomerado del origen es infinito decimos que hay
percolación. La probabilidad de percolar, vista como función de p,
es  creciente. Se ha demostrado la existencia de p_c tal que para
p<p_c la probabilidad de percolar es nula mientras que para
p>p_c la probabilidad de percolar es positiva. Este es  un ejemplo
típico de transición de fase: modelos indexados por un parámetro
continuo en los  cuales el comportamiento cambia cualitativamente
dependiendo del valor del parámetro. Problemas análogos se estudian
en  diferentes grafos.  Además de la probabilidad
de percolar, el análisis de  diferentes medidas de conectividad
representa otro aspecto de interés. Tales medidas pueden estudiarse
ya sea comparando probabilidades de conexión entre diferentes
vértices dentro de un mismo modelo, como explorando la probabilidad
de una conexión fija a medida que los parámetros del modelo varían.




Programa:
Definiciones y descripción de problemas relacionados con la percolación.
Existencia de valores críticos del parámetro p.
Algunas herramientas básicas.
Igualdad de dos valores críticos.
Unicidad del aglomerado  infinito.
Desigualdades estrictas entre valores críticos de modelos diferentes. Refuerzos.
Percolación en dimensión  2.
 

Bibliografía: 
Bollobás, Béla ; Riordan, Oliver. Percolation Cambridge University Press 2006.
Grimmett, Geoffrey. Percolation. Second Edition. Springer-Verlag 1999.