[Todos] reenvio
Enzo Tagliazucchi
e_taglia en hotmail.com
Dom Nov 28 22:11:05 ART 2010
Hola, reenvio el siguiente mail a pedido de Fabio Vicentini
saludos,
Enzo
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La enseñanza de la Matematica
Esta claro que enseñarle matematica a un alumno debe estar exenta
de las exquisiteces del rigor matematico de que disfrutan los matematicos
excepto para el caso de alumnos del dpto de matematica. Y aun para alumnos de
matematica que recien ingresan no se los debe abrumar con la pedanteria.
La matematica que le enseñan al alumno en el CBC es
normalmente recetaria, le cuentan el calculo de la derivada y la integral pero
no le enseñan el porque y como nacieron esos conceptos ni tampoco para que
sirven. En el CBC en lugar de la sofisticacion del matematico se asiste a la
chantada de decirles que no deben dividir por cero o que cero sobre cero es
indeterminado.
Una alumna recien ingresada me pidio que le enseñara
analisis. Mire el programa del CBC
y el programa de analisis I del dpto de matematica y el abismo entre ambos me
llamo la atencion. Se pretendia que el alumno pasara de la chantada al rigor, de
una dimension a la topologia en el espacio de n
dimensiones.
Nunca tuve un alumno particular pero acepte el pedido de
la alumna como un experimento. El experimento consiste en ver si es posible
hacer un balance salomonico entre la chantada y la pajeria academica. Somos
cuatro los interesados en la realizacion del experimento. La siguiente es la
lista de temas del curso de Calculus en una variable desarrollado en 10
fasciculos. Si Ud estuviera interesado lo puede solicitar a fvicent en arnet.com.ar
TEMAS DESARROLLADOS EN LOS APUNTES DE ANALISIS
I
Fasciculo 1 (Numeros reales y sucesiones)
Numeros
racionales
Teor: Raiz de 2 no es racional
Def. de encaje de
intervalos
Def. de intervalo y entorno
Ej. de encaje del log 2
Ejps. de
sucesiones
q^n
serie geometrica
serie 1+1/1!+1/2!+1/3!+…
Area bajo el grafico de
y=x^2
Principio de induccion
El numero combinatorio
Desarrollo del
binomio
Def. del numero e
Representacion decimal de un numero
Def. de
numero irracional y real
Axioma del continuo de Cantor
Principio de
Dedekind
Principio de Weierstrass
El supremo y el infimo
Punto de
acumulacion
Primera def. del limite de una sucesion
Def. del valor
absoluto de un numero
Segunda def. del limite de una sucesion
Def. de lim
An=infinito
Teor: Si lim An existe An esta acotado
Teor: lim An+Bn , lim
An.Bn , lim An/Bn
Sucesion de Cauchy
Teor:An es convergente sii es
Cauchy
Fasciculo 2 (Ej. fisico de derivada e integral)
Caida
libre de un cuerpo
velocidad promedio e
instantanea
pendiente
derivada
aceleracion
Interpretacion geometrica
del area
La Integral
Fasciculo 3 (funciones y limites)
Def
de funcion
Def de grafico de una funcion
Ejemplo de funciones
funcion lineal
polinomio
y=x^(p/q)
Funciones
Trigonometricas
Desigualdad de Schwartz
Producto escalar
Ejemplo: La
Ley de Refraccion
Pendiente
Def de derivada
Def de lim
f(x)
Ejemplos de lim f(x)
lim senx/x y lim (1-cosx)/x
Def de lim f(x) =
infinito
Def de lim f(x) si x tiende a inf
Teor: lim f+g, lim fg, lim
f/g
Derivada de sen x y cos x
Teor: lim f(An)= f(a) si
An=>a
Fasciculo 4 (Continuidad)
Def. de continuidad
uniforme
Def de continuidad puntual
Teor: si f y g son cont la suma, el
prod y el cociente de f y g son cont
Teor; derivable implica
continua
Teor: Cont en c/punto implica unif. cont.
Teor: Existencia del
max y del min
Teor: Cont pasa por puntos intermedios
Teor: Derivada >0
implica creciente
Fasciculo 5 (La derivada)
1. Calculo de
derivadas
Def. de derivada y notacion
Pendiente: interpretacion
geometrica
Teor: D cte=0. D x=1, D x^2 =2x
Teor: D x^n = nx^n-1
Teor: D
cf=cDf,
D(f+g)=Df+Dg
D fg= gDf. fDg,
D f/g = (gDf-fDg)/g^2
Teor: D
x^-n = -nx^n-1
D tg x= 1 / (cos x)^2
2. Regla de la cadena
Ley de
refraccion
3. Teor del valor medio
4. Regla de L'Hopital
5. Funciones
inversas
Derivada de la funcion inversa
Inversas de funcs
trigonometricas
D arc sen x, D arcos x, D arctg x
6. Representacion
Parametrica
Trayectoria de una particula
Movimiento
circular
Trayectoria de un proyectil
Representacion de la
cicloide
Coordenadas polares
ANEXO:
Teor de Rolle
Teor del valor
medio
Si Df=0 f(x) es cte
Si Df=Dg entonces f - g= cte
Df>0 implica
f es creciente
Validez de la regla de la cadena
Fasciculo 6 (La
integral de Riemann)
1. Ecuaciones diferenciales
Caida libre de un
cuerpo
Movimiento del pendulo
2. Primitiva de una
funcion
Interpretacion geom de la primitiva
3. La integral de
Riemann
Suma superior y suma inferior
Teor: s<S y S-s tiende a
0
Definicion de la integral definida
4. Propiedades de la
integral
Linealidad
Aditividad
Particion del intervalo de
integracion
Monotonia
Norma
Teor del valor
medio
Extension del teor del valor medio
Teor fundamental del
Analisis
Calculo de la integral definida
5. La integral indefinida o
primitiva
6. Aplicaciones
A.
Caida de un cuerpo
B.
Trayectoria de un proyectil
C.
La nocion de trabajo en Fisica
D. Volumen de un cono
Fasciculo 7 (Log, exponencial,
hiperbolicas)
1. Definicion de la funcion logaritmo
D ln x = 1/x
Teor:
ln xy = ln x + ln y
ln 1/x = - ln x
ln x/y = ln x - ln y
ln xr = r ln x
ln 1 = 0
ln x tiende a inf si x tiende a
inf
ln x tiende a -inf si
xtiende a 0
2. Definicion de la funcion exponencial E(x)
Teor.
E(x+y)=E(x)E(y)
Teor E(x) = [E(1)]^x
Teor E(1) = e
D e^x =
e^x
Modelo de crecimiento exponencial
3. Funciones hiperbolicas
Def. senh x, cosh x, tgh x
D senh (x) =
cosh(x)
D cosh (x) = senh(x)
D tgh (x) = 1/(cosh(x))^2
4.
Funciones inversas de las hiperb
5. Longitud de una
curva
Fasciculo 8 (La formula de Taylor)
1. Formula de
Taylor
2. Grafico de una funcion
Convexidad y concavidad e
inflexion
Teor: Condicion suf. para max y min
Curvatura
3. Problemas de
max y min
4. Serie desarrollos en serie de Maclaurin
Desarrollo de
1/(1-x)
Desarrollo de e^x
Desrrollo de 1/(1+x)
Desarrollo de arctg
x
Desarrollo de (1+x)^a
ANEXO
Demostracion de la formula de
Taylor
Fasciculo 9 (Series)
La serie armonica
diverge
Criterio de Cauchy
An tiende 0 es necesario para conv
convergente.
Criterio de Leibniz para series alternadas
Criterio de
D'Alembert
2. Sucesion de funciones y conv.uniforme
La conv.
uniforme
3. Serie de funciones
La convergencia unif
Criterio de conv
unif
Integracion termino a termino
4. Serie de potencias
Radio de
convergencia
Integracion de la serie de potencias
Derivacion de la serie
de potencias
Solucion de ecuac. dif. por serie de
potencias
Fasciculo 10 Metodos de integracion
Tabla de
integrales
1. Metodo por sustitucion
2. El sistema ortogonal de las fns
trigonometricas
3. Integracion por partes
4. Integracion de funciones
racionales
Ejemplos
Ecuacion
dif de una reaccion quimica
Problema de la catenaria
------------ próxima parte ------------
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